A beleza da Matemática

"Os padrões criados pelo matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser belos; as ideias, como as cores ou as palavras, devem se encaixar de um modo harmonioso. A beleza é o primeiro desafio: não existe lugar permanente no mundo para a matemática feia". G. H. Hardy


Since 06/06/2013

segunda-feira, 1 de julho de 2013

Jogo da Velha

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

x o x o x o x Jogo da Velha x o x o x o x










jogo da velha (português brasileiro) ou jogo do galo (português europeu) é um jogo e passatempo popularÉ um jogo de regras extremamente simples, que não traz grandes dificuldades para seus jogadores e é facilmente aprendido. Seu nome teria se originado na Inglaterra, quando nos finais da tarde, mulheres se reuniram para conversar e bordar. As mulheres idosas, por não terem mais condições de bordar em razão da fraqueza da visão, jogavam este jogo simples, que passou a ser conhecido como o da "velha". Porém, sua origem teria sido ainda mais antiga. Fala-se em tabuleiros escavados na rocha de templos do antigo Egito, que teriam sido feitos por escravos há 3.500 anos (carece de fontes). De alguma forma, é um jogo "aparentado" dos "Merels" (ver Marel).
Muito popular por sua disponibilidade, pode ser jogado sobre um tabuleiro ou mesmo sendo riscado sobre um pedaço de papel ou mesa.

Regras

  • O tabuleiro é uma matriz de três linhas por três colunas.
  • Dois jogadores escolhem uma marcação cada um, geralmente um círculo (O) e um xis (X).
  • Os jogadores jogam alternadamente, uma marcação por vez, numa lacuna que esteja vazia.
  • O objetivo é conseguir três círculos ou três xis em linha, quer horizontal, vertical ou diagonal, e ao mesmo tempo, quando possível, impedir o adversário de ganhar na próxima jogada.
  • Quando um jogador conquista o objetivo, costuma-se riscar os três símbolos.
Jogador xis (X) ganha:



Empate (chamado de velha no Brasil, costuma-se dizer que o jogo "deu velha"):

Possibilidades

Analisando o número de possibilidades de forma simplista, existem 362.880 ou 9! (nove fatorial) maneiras de se dispor a cruz e o círculo no tabuleiro, sem considerar jogadas vencedoras. Quando consideramos as combinações vencedoras, existem 255.168 jogos possíveis. Assumindo que 'X' inicia o jogo (se considerar que 'O' inicia, os resultados passam a ser inversos), temos:
  • 131.184 jogos finalizados são ganhos por 'X'
- 1.440 são ganhos por 'X' após 5 movimentos
- 47.952 são ganhos por 'X' após 7 movimentos
- 81.792 são ganhos por 'X' após 9 movimentos
  • 77.904 jogos finalizados são ganhos por 'O'
- 5.328 são ganhos por 'O' após 6 movimentos
- 72.576 são ganhos por 'O' após 8 movimentos
- 46.080 jogos finalizados resultam em empate
  • Ignorando jogadas simétricas (outras jogadas rotacionadas ou refletidas), existem apenas 138 resultados únicos. Assumindo novamente que 'X' sempre inicia o jogo, temos:
- 91 resultados únicos são ganhos por 'X'
- 21 são ganhos por 'X' após 5 movimentos
- 58 são ganhos por 'X' após 7 movimentos
- 12 são ganhos por 'X' após 9 movimentos
- 44 resultados únicos são ganhos por 'O'
- 21 são ganhos por 'O' após 6 movimentos
- 23 são ganhos por 'O' após 8 movimentos
- 3 resultados únicos são empates



Conclusã: o "O" sempre se ferra!!!

Estratégias



Jogada perfeita


Se os dois jogadores jogarem sempre da melhor forma, o jogo terminará sempre em empate. A lógica do jogo é muito simples, de modo que não é difícil deduzir ou decorar todas as possibilidades para efetuar a melhor jogada - apesar de o número total de possibilidades ser muito grande, a maioria delas é simétrica, além de que as regras são simples. Por esse motivo, é muito comum que o jogo empate (ou "dê velha").


Exemplo de um jogo da velha em que o círculo (O) ganha o jogo.

Um jogador pode facilmente jogar um jogo perfeito seguindo as seguintes regras, por ordem de prioridade:

1. Ganhar: Se você tem duas peças numa linha, ponha a terceira.
2. Bloquear: Se o oponente tiver duas peças em linha, ponha a terceira para bloqueá-lo.
3. Triângulo: Crie uma oportunidade em que você poderá ganhar de duas maneiras.
4. Bloquear o Triângulo do oponente:
Opção 1: Crie 2 peças em linha para forçar o oponente a se defender, contanto que não resulte nele criando um triângulo ou vencendo. Por exemplo, se 'X' tem dois cantos opostos do tabuleiro e 'O' tem o centro, 'O' não pode jogar num canto (Jogar no canto nesse cenário criaria um triângulo em que 'X' vence).
Opção 2: Se existe uma configuração em que o oponente pode formar um triângulo, bloqueie-o.
5. Centro: Jogue no centro.
6. Canto vazio: jogue num canto vazio.
Em suma, a não ser em condições especiais, o jogador deve ter preferência pela posição central, seguida pelos cantos, seguidos pelas bordas.


Em geral, é melhor jogar no centro e em seguida nos cantos 
pois há maior possibilidade de bloquear ou vencer.

Triangulação

Como não existe estratégia vencedora no jogo da velha, conquistar um triângulo depende de um erro do adversário. Entretanto, algumas delas são definidas através de uma única jogada do adversário.

Triangulação através do centro:

Comece jogando no centro do tabuleiro.
Se o adversário jogar na borda, jogue no canto ao lado desta borda.
O adversário será obrigado a se defender, jogando no canto afastado.
Estabeleça o triângulo, jogando no canto ou borda alinhados ao canto conquistado.

Triangulação através do canto:


Comece pelo canto.
Se o adversário jogar numa borda ou num canto.
Jogue no canto que obrigue o adversário jogar em outra borda.
Quando o adversário se defender jogando na borda, conquiste o centro.
Ao conquistar o centro, o triângulo estará formado.

Nomes em Inglês


English: Tic-tac-toe, decoration game.
Nederlands: Boter, kaas en eieren, decoratief spel.

O jogo tem uma série de nomes em inglês:
- Tic-tac-toe, Tic-tac-toe, Tick-tat-toe, ou Tit-tat-toe
EUA, Canadá).

- Noughts (zeros) and (e) crosses (cruzes) ou Naughts (nada) and (e) crosses (cruzes)
Grã-Bretanha, República da Irlanda, Austrália, Nova Zelândia, África do Sul.

Nos Estados Unidos, o nome "Noughts and crosses" não é bem compreendido, como a palavra "nought" é arcaica no uso, e objetos em forma de X não são geralmente chamados de cruzes, exceto no caso específico de cruzes como a Cruz de St. Patrick.

Referências:
Kevin Crowley, Robert S. Siegler. (1993). "Flexible Strategy Use in Young Children’s Tic-Tat-Toe". Cognitive Science 17: 531–561. DOI:10.1016/0364-0213(93)90003-Q


Unity 3D game portal
Game Jogo da Velha

http://www.wooglie.com/games/Action/Tic-Tac-Toe

2 jogadores
1 jogador x computador fácil
– 1 jogador x computador difícil



Plugin necessário: Unity Web Player (Windows)

O Unity Web Player permite ver conteúdo fantástico em 3D criado com o Unity diretamente em seu browser e atualiza conforme necessário.



Fractal Jogo da Velha:


Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.



Imagem fractal para o jogo de tic-tac-toe, com a representação analítica de todos os jogos possíveis do jogo da velha.